INTEGRALES EJERCICIOS ETC...

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

INTEGRANTES:

Laura Naomi Contreras Pimentel

 Esmeralda Esquivel Contreras

 Montserrat Celeste Rangel de la Cruz

 Jacqueline  Sanchez GarcíA

 Diana Laura  García Hinojosa

MATERIA:

Análisis Integral de Funciones

PROFESORA:

Edith  SUAREZ García

GRUPO:

6206

ESPECIALIDAD:

P.T.B Informática

TEMARIO

Análisis Integral de Funciones

Propósito del módulo: calcular amplitudes físicas químicas, probabilistas o de población mediante la aplicación de técnicas de integración indefinida y definida para implementar soluciones de modelos matemáticos en  contextos diversos.

UNIDAD:    1

DETERMINACIÓN DE INTEGRIDAD INDEFINIDA

1.1         calculo  de anti derivadas mediante fórmulas inmedidas de integración.

1.1.1     resuelve ejercicios de anti derivadas inmediatas considerando  lo siguiente:

 formulas

  procedimientos

  resultados

A)   Determinación de diferencias  interpretación gráfica de la diferencia de la variable dependiente definición de la diferencia de la variable independiente e independiente.

·          

reglas de la diferenciación

        

B)    Calculo de anti derivadas

·         definición

·         regla de anti derivación para potencias

·         fórmulas de integrales inmediatas.

  algebraicas

Logarítmicas

Exponenciales

Trigonométricas

·         Solución de problemas

1.2         resuelve  integrales indefinidas mediante métodos de integración

1.2.1     resuelve ejercicios y aplicaciones de la integral  indefinida de acuerdo con lo siguiente:

1.2.2      

·         ejercicios con el método de:-cambio de variable.

 Por partes

Fracciones parciales

Ciencias
Ingeniera
Economía
Administración

A)    Soluciones por cambio de variable o situación.

·         Algebraicas

·         Trigonométricas

·         Exponenciales

·         Logarítmicas

B)    Solución por partes

·         Formulas

·         Aplicación

C)    Solución por fracciones parciales

·         Casos

D)   Soluciones por situación trigonométricas

·         Casos

·         Aplicación

E)   Solución por tablas

·         Algebraicas

·         Trigonométricas

·         Exponenciales

·         Logarítmicas

·         Irracionales

Calculo de ecuación diferencial

·         De variables separables

·         Resolución de problemas aplicadas en diferentes contextos

v  Ciencias e ingeniera

v  Economía y administración

UNIDAD:   2

DETERMINACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

2.1  cálculo de integrales definidas, mediante fórmulas directas o métodos.

2.1.1  resuelve ejercicios de la integral definida considerando lo siguiente:

·         Formulas

·         Método

·         Procedimientos

·         Resultados

A)   Determinación  de la integral definida

·         Notación de sumatoria

·         Suma de riman

·         Concepto de integral definida en un intervalo

·         Propiedades

B)    Aplicación  de teorema fundamental del calculo

·         Definición

·         Formulas directas

·         Calculo de integrales definidas por métodos

Por cambio de variable

Por partes

Por fracciones parciales

2.2 cálculo de áreas mediante integrales definidas

2.2.1  resuelve aplicaciones de la integral definida de acuerdo lo siguiente:

·         Ejercicio de cálculo de áreas

Con función

 Con dos funciones

  Con tres funciones

·         Problemas de algún contexto de:

Ciencias
 Ingeniera

 Economía

 Administración

A)   Calculo de áreas de figuras planas

·         Con función

  Sobre el eje x

 Bajo el eje x

  Entre el eje x

·         Con dos o tres ejes

v  Sobre y debajo del eje x

v  Entre el eje x

v  Por la derecha de eje x

v  Entre el eje x

v  Entre dos gráficas

v  Entre tres gráficas

B)   Resolución de  problemas aplicadas en diferentes

contextos

·         Ciencias e ingeniera

·         Economía y administración

UNIDAD:   1

Determinación de Diferenciales

El cálculo diferencial es una parte del análisis de expresión oral que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objeto del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

Interpretación Gráfica de la Diferencial de la Variable Dependiente

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredós cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial.

Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial.

Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se lee “delta x”.

El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.

por ejemplo:

Si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento Dx = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positiva mente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, Dx = x2 - x1 = 3 - 7 = −4

La variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

Derivada de una función:

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, denotada por f ‘, tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:

Se dice que una función es diferenciable o derivable cuando es posible hallar su derivada. Definición de la diferencial de la variable dependiente e independiente

La variable independiente es aquella propiedad, cualidad o característica de una realidad, evento o fenómeno, que tiene la capacidad para influir, incidir o afectar a otras variables. Se llama independiente,  porque esta variable no depende de otros factores para estar presente en esa realidad en estudio.

Algunos ejemplos de variables independientes son; el sexo, la raza, la edad, entre otros. Veamos un ejemplo de hipótesis donde está presente la variable independiente: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer mas rápido en primer grado.” En este caso la variable independiente es “hacen tres años de educación preescolar.”

 Porque para que los niños de primer grado aprendan a leer más rápido, depende de que hagan tres años de educación preescolar.

La variable dependiente: es aquella característica, propiedad  o cualidad de una realidad o evento que estamos investigando.

 Es el objeto de estudio, sobre la cual se centra la investigación en general. También la variable independiente es manipulada por el investigador, porque el investigador el puede variar los factores para determinar el comportamiento de la variable.

Por ejemplo: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer mas rápido en primer grado.”

En este caso la variable dependiente sería “aprenden a leer mas rápido”, pero aprenden a leer mas rápido como consecuencia de que “hacen tres año de educación preescolar”.

Por esta razón  se recomienda  que en el título de un trabajo siempre debe aparecer la variable dependiente, pues está es el objeto de estudio.

También existen variables independientes en algunos estudios que hasta cierto punto dependerán de “algo”, como en el ejemplo  siguiente: “Los ingresos económicos de un hospital público  puede depender de la asignación en el presupuesto nacional del país.”  Como podemos observar el objeto de estudio no está influyendo en la variable independiente. De este modo, la variable independiente en un estudio se cree que está influyendo en la variable dependiente, el estudio Correlacionar se centra precisamente en esa relación.

1.1.1   Resuelve ejercicios de anti derivadas inmediatas considerando  lo siguiente:

      

Formulas

una fórmula es una forma breve de expresar información de modo simbólico , o una relación general entre cantidades. Una de las fórmulas más famosas es la de Albert Einstein, sobre la teoría de la relatividad, E = mc2.

En un sistema formal, una fórmula bien formada, también llamada expresión bien formada, y a menudo abreviada fbf o EBF, es una cadena de caracteres o palabra generada según una gramática formal a partir de un alfabeto dado. Un lenguaje formal se define como el conjunto de todas sus fórmulas bien formadas.

En Geometría, Estadística y otras ramas de las Matemáticas, una fórmula es una ecuación que relaciona constantes o variables matemáticas y que se expresa mediante una igualdad matemática. Existen fórmulas para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares.

Por ejemplo, el problema de determinar el volumen de los cuerpos geométricos, como los sólidos platónicos, o las relaciones métricas del triángulo, o las razones trigonométricas . El volumen de una esfera requiere cálculo integral para su resolución, según Arquímedes, puede calcularse mediante la fórmula que relaciona el volumen con el radio.

 V =\frac{4}{3} \pi r^3.

En álgebra una fórmula es una identidad que se utiliza para simplificar los cálculos o resolver una ecuación o factorizar polinomios. Por ejemplo para la ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática1 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el símbolo ± indica que los valores

x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}          y          \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

constituyen las dos soluciones.

Las cantidades, medidas o incógnitas, que aparecen se suelen identificar o simbolizar con letras mayúsculas (V=volumen), letras minúsculas (r=radio), letras griegas (π=pi=3,1415926...) y otros símbolos (Σ representa la suma de muchas cantidades similares, una flecha sobre una letra indica que se trata de un vector, \textstyle \overrightarrow{a} , un punto sobre una letra, \textstyle \dot{a} , indica la derivada o diferencial de esa funsión, etc). A veces es necesario el uso de subíndices (x1, x2..) y superíndices (x2, x3, ...)

Procedimientos Y Resultados

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Es un método de ejecución o pasos a seguir, en forma secuenciada y sistemática, en la consecución de un fin. El conjunto de procedimientos con un mismo fin, se denomina sistema. Los procedimientos matemáticos nos permiten llegar a soluciones numéricas razonadas. El primer procedimiento matemático es contar, y el cálculo nos permite aplicar adecuadamente reglas, usando operaciones sencillas, para obtener el resultado buscado.

A)  Determinación de Diferencias

 Interpretación gráfica de la diferencia de la variable dependiente

Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales

De acuerdo al contenido programático, serán analizadas solo las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), las cuales se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente.

Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O, sin embargo, en la presente obra se desarrollarán solo los siguientes

1.    Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:   Las cuales se puede resolver así:  Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto: Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.

2.    Ecuaciones Homogéneas: Son ecuaciones de la forma:

Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO. Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con:

                                                                       i.     Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y).

                                                                     ii.     Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:

1.   M(x, ky)= knM(x,y)

2.   N(x, ky)= nN(x,y)

B) Cálculo de anti derivadas.

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivadas de f(x).

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Fórmulas  de integrales inmediatas

Tipos de integrales	Función simple	Función compuesta	Ejemplos de integrales
Constante
Potencial			Potencial
Logarítmico			Logarítmico
Exponencial			Exponencial
Seno			Seno
Coseno			Coseno
Tangente			Tangente
Cotangente			Cotangente
Arco seno			Arco seno
Arco tangente			Arco tangente

Algebraicas

Una fórmula es una secuencia formada por valores constantes, referencias a otras celdas, nombres, funciones, u operadores.

Una fórmula es una técnica básica para el análisis de datos. Se pueden realizar diversas operaciones con los datos de las hojas de cálculo como *, +, -, Seno, Coseno, etc...

En una fórmula se pueden mezclar constantes, nombres, referencias a otras celdas,operadores y funciones. La fórmula se escribe en la barra de fórmulas y debe empezar siempre por el signo =.

Formulas

a)=promedio(rango): esta formula nos da el promedio de cantidades que seleccionemos, es una forma mucho mas rapida de hacer operaciones matematicas, esta es muy utilizada para las calificaciones escolares.

b)=suma(rango): da el resultado de la suma de las seldas seleccionadas(Utilice SI para realizar pruebas condicionales en valores y fórmulas.)

c)=contar.si (rango,criterio): como tiene la condicion con la funcion SI solo se contaran las cantidades que se especifiquen en el rango

d)=sumar,si (rango,”criterio”, rango contable): al igual que contar solo seran sumadas las cantidades que se especifiquen pero en el rango contable para poder hacer valida la suma

  

Logaritmos

Exponenciales

La función exponencial se puede representar por :

f ( x ) = a ^ x

Donde "a" es un cualquier numero real positivo mayor que 1 .  Comunmente se usa la constante cologaritmica neperiana "e" para representar a una ecuación exponencial.

f ( x ) = e ^ x

Pero obviamente esta constante es mayor que 1 y es positiva, lo cual se engloba en la primera definición que dice que :      "a" es un cualquier numero real positivo mayor que 1 .  Por ende, la forma de representar a las ecuaciones exponenciales es:

f ( x ) = a ^ x

Resolución de problemas

Resolución de problemas es la fase que supone la conclusión de un proceso más amplio que tiene como pasos previos la identificación del problema y su modelado. Por problema se entiende un asunto del que se espera una solución que dista de ser obvia a partir del planteamiento inicial. El matemático G.H. Wheatley lo definió de forma ingeniosa: «La resolución de problemas es lo que haces cuando no sabes qué hacer».1

La resolución de problemas reside principalmente en dos áreas: la resolución de problemas matemáticos y la resolución de problemas personales —en los que se presenta algún tipo de obstáculo a su resolución—,2 mientras que los fundamentos son estudiados en psicología del pensamiento, ciencia cognitiva y teoría de la decisión.

Diariamente es necesario enfrentar problemas y conflictos a los cuales se les deben encontrar soluciones aceptables de acuerdo al contexto. El proceso de solucionar problemas implica una serie de capacidades y habilidades del pensamiento que es importante desarrollar y evaluar en la preparación académica.

La resolución de problemas es una actividad cognitiva que consiste en proporcionar una respuesta-producto a partir de un objeto o de una situación.

Una de las capacidades más importantes en la resolución de problemas es la de hacer preguntas que permitan surgir de un conflicto y sortear la dificultad, algunas preguntas pueden servir para identificar el problema, otras para buscar alternativas, etc. Es posible preguntarse: ¿qué es lo que hace problemática esta situación? ¿qué me falta por saber? ¿cuántos problemas están involucrados? ¿cuál voy a intentar resolver? ¿qué es lo que no funciona? ¿cuáles son las alternativas que se pueden tomar? ¿qué conozco sobre este tema? ¿por dónde puedo empezar para que sea más fácil? etc.

1.2      resuelve  integrales indefinidas mediante métodos de integración

1.2.1   resuelve ejercicios y aplicaciones de la integral  indefinida de acuerdo con lo siguiente:

•          Ejercicios con el método de:-cambio de variable.

POR PARTES

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula :

fórmula de la integral por partes

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

 Fracciones  parciales

El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Hay cuatro casos:

1)        Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2)        Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3)        Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

4)        Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para:

Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

Paso 1:

Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador.

Paso 2:

Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales,        px +q, o factores cuadráticos irreductibles,  , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma   , donde  o   los números m y n no pueden ser negativos.

Paso 3:

Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

Ejemplo 1:

Determinar la descomposición en fracciones parciales de:

 Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una división larga.

Segundo: factorizo el denominador

Ciencias

 Partimos de la aceptación de que los problemas, en la enseñanza de la física, tienen como principal objetivo lograr de los alumnos habilidades en idear estrategias de razonamiento, organizar procedimientos, efectuar análisis crítico de resultados, y adquirir criterios de evaluación y estimación de situaciones físicas. Para lograr esto los alumnos tienen que utilizar conocimientos teóricos que se supone ya conocen. El objetivo a largo plazo es que los problemas les enseñen a resolver futuras situaciones problemáticas en otras áreas del conocimiento o de la actividad humana. A la luz de estas reflexiones, surge inevitablemente la pregunta ¿cómo tienen que ser los problemas de física para lograr estos objetivos? Se ha hablado y escrito mucho sobre el particular, al igual que cuales estrategias utilizar para enseñarles a resolverlos. Cualquiera sea la metodología siempre es necesario que haya un contenido tal que despierte en el alumno una motivación suficiente para que no se desanime en la tarea. Para que haya contenido motivante tiene que serle familiar o estar vinculados a sus reales y actuales intereses. Una alternativa para lograr esto es utilizar lo que se denomina "problemas ricos en contexto".

Ingenieria

La integral definida es un concepto relevante para abordar una amplia gama de problemas que los estudiantes de Ingeniería utilizan en su programa de estudios. Está presente en diversos contenidos y se requiere en actividades de aprendizaje a lo largo de su formación universitaria. Para llevar a cabo estas actividades, los alumnos deben tener una sólida comprensión de este concepto. Es necesario identificar las dificultades que los estudiantes encuentran al aprenderlo para diseñar actividades de enseñanza que logren en el estudiante un aprendizaje más sólido. El uso de los CAS , en nuestro caso el software Derive, genera y opera distintas representaciones del concepto que pueden ayudar a su comprensión. Uno de los aspectos relacionados con el concepto de la integral definida tiene que ver con el tipo de respuesta que dan los estudiantes a problemas en diversos contextos. Se entiende como "problemas en diversos contextos" tanto los planteados en el ámbito estrictamente matemático como las aplicaciones a otras ciencias (Gravemeijer y Doorman, 1999, pp. 111-129).

En nuestra investigación, desarrollamos un curso que combina las clases habituales con prácticas de laboratorio, siguiendo un módulo instruccional diseñado por el equipo investigador que utiliza el CAS Derive, para posteriormente recolectar y analizar las actuaciones de los estudiantes en el laboratorio, mientras trabajan una serie de tareas en las que tienen la oportunidad de resolver problemas, en los que se necesita usar la integral definida para calcular el área de una región limitada por las gráficas de funciones continuas y continuas a trozos. Además, se formularon problemas sencillos contextualizados en términos de conceptos utilizados en la Física y la Ingeniería. En estos problemas, la integral definida no se interpreta como el área de una región.

En el módulo instruccional que se implemento, los estudiantes trabajaron en un entorno informático utilizando un programa de utilidades (PU), diseñado específicamente para el uso en el laboratorio (Camacho y Depool, 2003, pp. 119-140; Camacho, Depool y Socas, 2005, pp. 21-46, y Camacho, Depool y Santos-Trigo, 2005, pp. 243-264), que permite al estudiante calcular aproximaciones de la integral definida como área de figuras planas, mediante métodos gráficos y numéricos.

Administración

Estos problemas se diseñan de tal modo que el alumno se ve obligado a preparar una estrategia organizada en forma lógica y no puede aplicar las ecuaciones y obtener resultados en forma automática y sin comprender para qué lo hace, como comúnmente suele ocurrir. Todos sabemos que con esta práctica los alumnos no aprenden lo esencial de la física.

Estos problemas obligan al alumno a considerar y aplicar los conceptos físicos dentro de un contexto concreto insertado en el mundo real. Obliga al alumno a tomar una serie de decisiones. Otra característica importante de este tipo de problemas es que el alumno debe usar los conceptos en forma cualitativa,cantidades.

 antes que una eventual aplicación a ecuaciones con Administración

Soluciones por Cambio de Variable o Situación

Un cambio de variable es una técnica empleada en matematica para resolver algunas ecuaciones   o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incognita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

Ecuaciones bicuadradas

Ecuaciones de tercer grado

Ecuaciones de cuarto grado

Ejemplo: resolución  mediante cambio de variable:

Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \,. Se siguen los siguientes pasos:

Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma base que 7 · 3x:

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable (CDV).

Luego de hacer efectivo el CDV, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Por esta razón, es necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho método puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación específica de este contenido que ya debe ser parte de sus redes conceptuales.

Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva.

Administración Métodos de Integración

La integración tiene algunos métodos, llamados técnicas de integración que permiten reducir ciertas integrales a otra ya conocidas (la tabla). Entre esas técnicas se tiene el cambio de variable que se estudia a continuación.

 Cambio de Variable o Sustitución Esta técnica no es otra cosa que  la regla de la cadena de   las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su  integral.

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

 Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas. En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0

donde los coeficientes ai(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

Trigonométricas  

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Exponenciales      

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

iendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

C omo en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:

Logarítmicas

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).2

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

B)        Solución por partes

Formula

Es integrales por partes. Consideremos dos funciones diferenciables e integrables, a partir de ellas puede hallarse una fórmula interesante:

C) Solución por fracciones parciales

 casos  y aplicaciones 

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una tran cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.
esformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador. Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Hay cuatro casos:

1)        Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2)        Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3)        Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

4)        Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

Procedimiento para:

Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

Paso 1:

Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador.

Paso 2:

Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales,        px +q, o factores cuadráticos irreductibles,  , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma   , donde  o   los números m y n no pueden ser negativos.

D) solución por tablas

Algebraicas

    

El uso de la trigonometría en los cálculos de geometría exige el poder calcular sus variables con cierta precisión, una forma de hacer estos cálculos es mediante el uso de la tabla trigonométrica o tabla de senos, estas tablas son una herramienta sencilla y de uso muy general.

Veamos una tabla trigonométrica y su modo de uso, para el calculo de las funciones trigonométricas.

Esta tabla de doble entrada determina el seno de un ángulo, dado en grados sexagesimales, desde 0 a 45 grados, a intervalos de 0,1 grado o 6 minutos de grado, según se puede ver en las dos filas superiores, en la primera como el primer decimal, y en la segunda como minutos de grado.

En la columna de la izquierda vienen los grados, en la fila superior las fracciones de grado en intervalos de 0,1 de grado, o en minutos a intervalos de 6 minutos, de grado sexagesimales, donde se cruzan la fila y columna correspondientes podemos encontrar el valor del seno del ángulo, expresado con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco, para facilitar la lectura.

Trigonométricas

Traducir una proposición verbal a una expresión algebraica o en una ecuación Quizá la parte difícil al resolver un problema verbal sea transformarlo en una ecuación. Antes de representar los problemas como ecuaciones, se da algunos ejemplos o frases representadas como expresiones algebraicas. A veces en un problema hay dos números que se relacionan entre sí. Con frecuencia representamos uno de ellos con una variable y el otro con una expresión que contiene esa variable. Por lo general representamos con la variable la descripción menos complicada y escribimos la segunda (la expresión más compleja) en términos de la variable. En los ejemplos siguientes utilizaremos x para la variable.

El período de un péndulo (T) es el tiempo, medido en segundos, que tarda el péndulo en realizar una oscilación (ida y vuelta) y depende únicamente de su longitud (l), veámoslo:

•       Exponenciales Y Logarítmicas

La invención de los logaritmos (palabra de origen griego: logos (logos) = tratado, arithmos (ariqmos) = números), se debe al matemático escocés John Napier, barón de Merchiston (1550-1617), quien se interesó fundamentalmente por el cálculo numérico y la trigonometría. En 1614, y tras veinte años de trabajo, publicó su obra Logarithmorum canonis descriptio, donde explica cómo se utilizan los logaritmos, pero no relata el proceso que le llevó a ellos. Un año después, en 1615, el matemático inglés Henry Briggs (1561-1631), visitó a Napier y le sugirió utilizar como base de los logaritmos el número 10. A Napier le agradó la idea y se comprometieron a elaborar las tablas de los logaritmos decimales. Napier muere al cabo de dos años escasos y se queda Briggs con la tarea.

En esta Unidad estudiaremos y analizaremos las funciones y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Comenzaremos con las funciones exponenciales para luego continuar con ecuaciones exponenciales. La necesidad de resolver ecuaciones exponenciales trae consigo hallar la función inversa de la función exponencial y es donde toma sentido la función logaritmo.

Repasaremos algunas propiedades de los logaritmos para centrarnos en resolver ecuaciones logarítmicas y situaciones problemáticas donde se encuentren involucradas ecuaciones tanto 
exponenciales como logarítmicas.

Irracionales

Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Para resolver una ecuación irracional se recomienda seguir los siguientes pasos:

1) Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales

2) Se elevan ambos miembros de la ecuación al índice que posea la raíz.

3) Se resuelve la ecuación obtenida.

4) Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación (Se dice que al elevar ambos miembros al cuadrado podemos estar añadiendo una solución ficticia). El sistema de los números racionales (ℚ, +, •, ≤) tiene estructura de cuerpo ordenado conmutativo, en el que toda ecuación lineal tiene solución. Si bien el orden muestra una cierta incompletita: existen subconjuntos acotados superiormente que carecen de supremo. Así podríamos definir los números irracionales, como supremos de ciertos conjuntos acotados superiormente de números racionales.

Por ejemplo, el conjunto A = {x∈ℚ | x2 < 2} está acotado superiormente (p. ej., 3 es una cota superior); sin embargo, A carece de supremo en ℚ (ya que el supremo es la solución positiva de la ecuación x2 = 2), y esta ecuación (no lineal) no tiene solución en ℚ, ya que la solución es \sqrt{2} \,\!, que no es un número racional. En efecto, razonemos por reducción al absurdo.

f)   Calculo de ecuación diferencial

   •     De variables separables

Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escibir la ecuación en la forma El factor integrante, es decir, si multiplicamos esta expresión por esta cantidad tendremos

Iniciaremos nuestras técnicas de solución a ED  con las ecuaciones más sencillas de resolver. Este

 tipo de ecuaciones son resueltas directamente   mediante una o dos integraciones. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

1)    Calcula, por separaci´n de variables, la soluci´n general de las siguieno o tes ecuaciones de primer orden. Adem´s, en caso de dar condiciones iniciales, a determina las soluciones de los problemas de valor inicial (PVI) as´ como su ı intervalo maximal de definici´n. o 1). . . . . . . . . . . 2). . . . . . . . . . . 3). . . . . . . . . . . 4). . . . . . . . . . . 5). . . . . . . . . . . dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx x2 + 1 , y(−3) = 4, 2 − 2y x =− , y(1) = 2 y 3x + 3xy 2 =− 2 . yx + 2y ￿ x2 + x2 y 2 = . y 2 + x2 y 2 x + xy 2 = , y(1) = 0. 4y = y(−3) = −2.

2)    La ecuaci´n o dy 4y 2 − x4 = , dx 4xy no es separable. Comprueba que la transformaci´n y → v dada por y = vx o convierte la ecuaci´n anterior en otra de variables separables. Resuelve la o nueva ecuaci´n y calcula la soluci´n general de la ecuaci´n original. o o o

Ciencia e Ingeniería

Ciencia e Ingeniería es patrocinada por la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes, con miras a estimular los esfuerzos científicos, tecnológicos, docentes y de extensión, de los Miembros de la Comunidad Universitaria y Merideña en general. Se pretende poner a disposición de docentes, investigadores y profesionales, de las ramas básicas y aplicadas de la Ingeniería, un medio de promoción y difusión que les dé la oportunidad de dar a conocer el fruto de sus trabajos y les permita expresar sus opiniones respecto a cualquier actividad fundamental de la Universidad. La PUCP participará del evento internacional “Las 24 horas de la Innovación”, en la cual grupos de estudiantes de decenas de países competirán para encontrar soluciones innovadoras a desafíos y necesidades colocadas por empresas alrededor del mundo.  Durante 24 horas, desde las 9 a.m. del 27 de Mayo, hasta la 9 a.m. del 28 de mayo, los equipos de alumnos alrededor del mundo estudiaran uno de los desafíos y propondrán una solución subiendo un video de no más de tres minutos.

Economía y administración

Una vez definidos los principales conceptos que manejarnos, debe precisarse la relación que existe entre ellos, empezando con la existente entre macroeconomía y microeconomía. Así, la macroeconomía se refiere al estudio de los grandes agregados de la economía nacional como la producción nacional, el ingreso nacional, el nivel de precios y de empleo, etcétera. Para que se puedan dar magnitudes económicas totales o nacionales, se requiere realizar las actividades económicas de producción, distribución, cambio y consumo a cargo de las entidades llamadas empresas y consumidores. Precisamente la microeconomía estudia estas unidades económicas que permiten la realización de la cadena económica que va de la producción al consumo, cuya integración total forma la economía nacional estudiada por la macroeconomía. Si ignorásemos alguna de ellas, sería aprender las cosas a medias. Ni siquiera podemos decir que una preceda a la otra. En la actualidad cuando se tienen amplios conocimientos de macroeconomía, también se cuenta con un importante acervo de enunciados teóricos acerca de la microeconomía, lo cual permite aplicar principios económicos para resolver problemas empresariales mediante la adecuada toma de decisiones. Por otra parte, los empresarios utilizan factores productivos para realizar sus actividades que los conduzcan al cumplimiento de sus objetivos entre los cuales destacan: la maximización de ganancias, crecimiento y expansión de la empresa, reducción de costos, incremento de la productividad, etcétera. La relación existente entre microeconomía y administración, por tanto, es evidente, ya que la primera permite conocer el funcionamiento de la empresa, mediante el cual el administrador puede lograr los objetivos de la organización a través de una adecuada toma de decisiones.

UNIDAD:   2

DETERMINACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

     

 2.1  cálculo de integrales definidas, mediante fórmulas directas o métodos.

2.1.1  resuelve ejercicios de la integral definida considerando lo siguiente:

A)           Determinación  de la integral definida

Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.

[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + ……………………… + f(x_n–1)] D x = 

(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

 [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + ……………………… + f(x_n)] D x =

(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)

 [f(t₁) + f(t₂) + f(t₃) + ……………………… + f(t_n)] D x = 

(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)

Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.

 Notacion Sumatoria

   

El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumados está expresado con la letra griega sigma (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

Expresión que se lee: "sumatoria de Xi,  donde i toma los valores desde 1 hasta n". i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior. Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

 Suma de Riemann

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.n Bernhard Riemann.

Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Llevadas al límite se obtiene la integral de Riemann. sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,...xn} tales que a= x0<x1<x2...<xn = b. consideramos la partición de este intervalo P=  {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}. Entonces la suma de Riemann de f(x) es:

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo suele ser arbitraria. Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Ejemplo.

Hallar el area de la región bordeada por la gráfica de f(x)=(x-1)^2+2, en el intervalo x=-1 y X=2 mediante la busqueda del límite de la suma de Riemann.

Consideraremos una función real y = f(x) positiva y acotada, definida en el intervalo cerrado [a, b].

Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (los límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el Daremos el criterio de integrabilidad de Riemann que nos permite estudiar la integrabilidad de una función sin necesidad de calcular las integrales superior e inferior. Esto nos permite hacer diferentes tipos de aproximación de la integral.eje X y las rectas paralelas x = a y x = b.

Suma de Riemann superior e inferior

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

•          La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

S(f, P) =  cj (xj - xj-1)

donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

•          La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) =  dj (xj - xj-1)

donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

Variación de las sumas de Riemann

Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

•          La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:

I(f, P)  I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

•          La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

S(f, P')  S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

o          la integral superior I*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

o          la integral inferior I*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I*( f ) = I*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:

 f(x) dx

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

Caracterización de las funciones Riemann-Integrables

Supongamos que f es una función acotada definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es integrable Riemann si y sólo si para todo   > 0 existe al menos una partición P tal que

| S(f, P) - I(f, P) | < 

donde S(f, P) es la suma superior de f respecto de la partición P, e I(f, P) es la suma inferior de f respecto de la partición P

Sumas de Riemann

- Si P = { x0, x1, x2, ..., xn} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:

•          R(f, P) =  f(tj) (xj - xj-1)

donde tj es un número arbitrario en el intervalo [xj-1, xj]. 

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

B)           Aplicación  de teorema fundamental del calculo

•             

Formulas Directas

              

Muchas veces se puede aplicar la relación dada en el teorema fundamental del cálculo. Esto es cuando se conoce una función cuya derivada es f(x), entonces la función es el resultado de la antiderivada. Este método requiere del uso de las propiedades de las operaciones dado el caso de la integral, como las propiedades de la potenciación, radicación y demás operaciones primarias y secundarias. Este método de resolución requiere una tabla de funciones y sus antiderivadas, estas se presentan a continuación:

Calculo de Integrales definidas por métodos

Calculo de la integral definida por metodos

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:

1.            Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba, gráfica de la función  , acotada entre  y  .

2.            La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la curva de función  , en el intervalo desde  hasta  ? es: que el área coincidirá con la integral de  . La notación para esta integral será

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Economía y administración Por cambio de variable

Por partes

Integrales por partes I

El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Economía y administración Por Fracciones Parciales:

Cálculo de Integrales Indefinidas "Por Fracciones Parciales" Recibe el nombre de fracción racional una expresión de la forma  , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Ejemplos de fracciones racionales son las siguientes:

Una fracción es propia, si el grado del polinomio en el numerador es menor que el del polinomio en el denominador. Por ejemplo:

Hasta el momento hemos determinado integrales de la forma  que da como resultado  cuando  y  si   además también se puede determinar integrales del tipo  donde  es decir  no es factorizable en 

(Para este tipo de integral ver "Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas").  Debemos ahora encontrar un método que permita obtener la derivada inversa de expresiones del tipo  La idea básica del método consiste descomponer una fracción racional en una suma de fracciones racionales más simples, llamadas usualmente fracciones parciales. Daremos sin demostración los siguientes teoremas:

                Teorema 1

                Si M(x) y N(x) son polinomios, entonces

 en donde L(x) y R(x) son polinomios tales que el grado de R(x) es menor que el de N(x)

Ejemplo:

 Teorema 2

                Si M(x) y N(x) son polinomios tales que el grado de M(x) es menor que el de N(x),entonces  se puede representar como una suma S(x) de expresiones de la forma:

Como resultado de este teorema se tienen los cuatro siguientes casos:

 .             Cada factor lineal  que aparece sólo una vez en N(x)

                posee un término de la forma  en la suma S(x).

 .             Para cada factor lineal  que aparece k veces en N(x)

                habrá una suma de k términos como sigue:

                 en la suma S(x)

               

 .             Para cada factor cuadrático  con  que

                aparezca sólo una vez en N(x) existe un término de la forma

                 en la suma S(x).

               

 .             Para cada factor cuadrático  con  que

                aparezca k veces en N(x) habrá una suma de k términos

                como sigue:

                 en la

                suma S(x)

2.2 calculo de áreas mediante integrales definidas

2.2.1  resuelve aplicaciones de la integral definida deacuerdo lo siguiente:

Por partes

Con función,con dos funciones, con tres funciones

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites

En segudo lugar se calcula la integral:

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

A)           Calculo de áreas de figuras planas

Con función

Hallar por integración el área del triángulo formado por la directriz del primer cuadrante al eje    OX    y la recta   x = 4 .  Comparar el resultado con el que se obtiene geométricamente

El valor de la integral definida entre los valores    x = 0    y    x = 4    es el área encerrada bajo la curva:

CASO  II :   La función    f(x)    es negativa en el intervalo

Hallar el área del recinto limitado por la parábola de la ecuación    y = - x2  ,    el eje    OX    y las rectas    x = 2    y    x = 4 .

El valor de la integral definida entre los valores    x = 2    y    x = 4    es el área encerrada bajo la curva pero cambiada de signo. Es por esta razón por la que se toma el valor ab

Sobre el eje x

Cómo calcular el área de una figura o región plana con la utilización de la integral definida.

Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 1 y X = 3.

Es bueno aclarar que cuando aplicamos la integral definida en las áreas que están ubicadas sobre el eje X el resultado lo obtendremos con signo positivo, mientras que en las áreas que están debajo del eje X el resultado lo obtendremos con signo negativo. Esta consideración no representa ningún problema en el cálculo del área. Simplemente este signo negativo nos indica que es un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad calculada con signo positivo. (En formato PDF)

Bajo el eje x

Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 1 y X = 3.Es bueno aclarar que cuando aplicamos la integral definida en las áreas que están ubicadas sobre el eje X el resultado lo obtendremos con signo positivo, mientras que en las áreas que están debajo del eje X el resultado lo obtendremos con signo negativo. Esta consideración no representa ningún problema en el cálculo del área. Simplemente este signo negativo nos indica que es un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad calculada con signo positivo. (En formato PDF)

 

  Entre el eje x

          
La línea en un gráfico que corre horizontalmente (izquierda-derecha) a través del cero.

Es usada como línea de referencia para medir sobre ella.

             Sobre y debajo del eje x

Aquí te tienen que dar entre q puntos (abscisas)  lo quieres.

Ejemplo 1: Calcula el área encerrada por la parábola y =x²+1 y el eje OX entre 0 y 3

Solución

Dibujas la parábola y la recta x=3

el área q te están pidiendo es el q te coloreo de rojo

y la integral q te da el área será:

en caso especial de éste es cuando te dan una curva y = f(x) y el eje OX (que tiene de ecuación y = 0, por eso no le restas nada si la f está por encima)

Ejemplo. Calcula el área del recinto determinado por la parábola y =x-x2 y el eje OX.

           Entre el eje x

El término eje, que viene del latín (axis o axe) posee múltiples usos, definiciones y aplicaciones. En sus orígenes representaba la barra que unía las ruedas de las carretas y, más adelante, la línea imaginaria que cruza el planeta Tierra de polo a polo.

Definición de eje

En el campo de la mecánica, por ejemplo, un eje está considerado como una pieza constructiva que resulta útil a la hora de dirigir el desplazamiento de rotación de un elemento o de un grupo de piezas, como puede ocurrir al trabajar sobre una rueda o un engranaje.

Los ejes de un vehículo, en cambio, representan líneas imaginarias de dirección transversal frente a las cuales giran las ruedas cuando el coche avanza de forma recta. En los vehículos que tienen ruedas a ambos lados, el eje es la recta transversal que permite unir los centros de dos de ellas.

En matemática, asimismo, los ejes nos permiten ubicar una figura geométrica en el espacio, para luego transformarla de acuerdo a nuestras necesidades. Por convención, el eje horizontal se referencia con la letra X, el vertical con la letra Y, y el que representa la profundidad, con la Z. Sin la existencia de este concepto que sirve de base para infinidad de cálculos, siendo la rotación el

más popularmente asociado con él, no sólo las matemáticas serían una ciencia mucho menos compleja y abarcativa, sino que el impacto alcanzaría el ámbito del entretenimiento, ya que no existirían videojuegos, películas de animación así como la mayoría de los efectos especiales.

   Entre dos gráficas

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:

y = sen x, y = cos x, x = 0.

En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

Ejercicios Resueltos

1.

resultado

2.

resultado 

 

hojas de integrales

vídeos de integración

Esmeralda Esquivel Contreras

  explicara la integral 29 de la pagina 238

Diana Laura García Hinojosa

explicara la integral 12 de la pagina 248

Laura Naomi Contreras Pimentel 

 explicara la integral 18 de la pagina 237

y formula que se aplicara es la  4

Yaquelin Sanchez García 

explicara la integral  11 de la pagina 

248

Monserrat Celeste Rangel